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20.已知數(shù)列{an},{bn}滿足:a1=2,an+1=2an+1,bn=an+2an1,
(1)證明:{bn}是等比數(shù)列,并求bn
(Ⅱ)求數(shù)列{1an1}的前n項的和Sn

分析 (1)可求得bn+1=an+1+2an+11=2an+2an1=-2bn,從而證明并求通項公式;
(2)由bn=an+2an1=(-2)n+1可得1an1=13[(-2)n+1-1],從而求Sn即可.

解答 解:(1)證明:b1=a1+2a11=4,
bn+1=an+1+2an+11
=2an+1+22an+11
=2an+2an1=-2bn
故{bn}是以4為首項,-2為公比的等比數(shù)列,
故bn=4•(-2)n-1=(-2)n+1;
(2)∵bn=an+2an1=(-2)n+1,
∴1+3an1=(-2)n+1
1an1=13[(-2)n+1-1],
∴Sn=13[(-2)2-1]+13[(-2)3-1]+13[(-2)4-1]+…+13[(-2)n+1-1],
=13[((-2)2+(-2)3+(-2)4+…+(-2)n+1)-n]
=4[12n]9-n3

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時考查了構(gòu)造法的應(yīng)用及學(xué)生的化簡運算能力.

練習(xí)冊系列答案
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