Question

20．設(shè)a＞0，b＞0，a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$，則3^a+81^b的最小值為18．

Answer 1

分析 由函數(shù)的單調(diào)性可得ab=1；從而借助基本不等式求最小值即可．

解答 解：∵a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}$-b=$\frac{1}$-$\frac{1}{\frac{1}}$，
又∵y=x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a=$\frac{1}$，
即ab=1；
3^a+81^b=3^a+3^4b≥2$\sqrt{{3}^{a}•{3}^{4b}}$=2$\sqrt{{3}^{a+4b}}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)3^a=3^4b，即a=4b時(shí)，等號(hào)成立）；
又∵a+4b≥2$\sqrt{a•4b}$=4，
（當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時(shí)，等號(hào)成立）；
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=4b，即a=2，b=$\frac{1}{2}$時(shí)，
3^a+81^b有最小值為9+9=18，
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與不等式的關(guān)系應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用．