Question

20．在棱長(zhǎng)為2R的無(wú)蓋立方體容器內(nèi)裝滿(mǎn)水，先將半徑為R的球放入水中然后再放入一個(gè)球，使它完全浸入水中，要使溢出的水量最大，則此球的半徑是（　�。�

• A． （$\sqrt{3}$-1）R
• B． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$R
• C． （2-$\sqrt{3}$）R
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$R

Answer 1

分析 先畫(huà)出過(guò)正方體對(duì)角面的截面圖，設(shè)小球的半徑r，通過(guò)AS=AO₁+O₁S建立等式，求出r即可求出要使流出來(lái)的水量最多時(shí)這個(gè)鐵球的半徑．

解答 解：過(guò)正方體對(duì)角面的截面圖如圖所示，設(shè)兩球的交點(diǎn)為S，
AC₁=2$\sqrt{3}$R，AO=$\sqrt{3}$Q，AS=AO-OS=（$\sqrt{3}$-1）R，
設(shè)小球的半徑r，tan∠C₁AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△AO₁D中，AO₁=$\sqrt{3}$r，
∴AS=AO₁+O₁S，
∴（$\sqrt{3}$-1）R=$\sqrt{3}$r+r．
解得：r=（2-$\sqrt{3}$）R為所求．
要使流出來(lái)的水量最多，這個(gè)鐵球的半徑應(yīng)該為（2-$\sqrt{3}$）R．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球與多面體相切問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題必須做出正確的截面（即截面一定要過(guò)球心），再運(yùn)用幾何知識(shí)解出所求量．