. (本小題滿分10分)如圖,在三棱錐中,底面,點,分別在棱上,且

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)當的中點時,求與平面所成的角的大小;

(Ⅲ)是否存在點使得二面角為直二面角?并說明理   

由.

 

 

 

 

 

【答案】

解:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.

,∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.                          ………3分

 

(Ⅱ)∵D為PB的中點,DE//BC,

,

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,

∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,

∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,

∴△ABP為等腰直角三角形,∴,

∴在Rt△ABC中,,∴.

∴在Rt△ADE中,,

與平面所成的角的大小.………8分

 

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,

又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,

∴∠AEP為二面角的平面角,

∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.

∴在棱PC上存在一點E,使得AE⊥PC,這時,

故存在點E使得二面角是直二面角. ………12分

 

【解法2】如圖,以A為原煤點建立空間直角坐標系,

        設(shè),由已知可得

       .

       (Ⅰ)∵,

,∴BC⊥AP.

又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC. ………3分

 

(Ⅱ)∵D為PB的中點,DE//BC,∴E為PC的中點,

,

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,

,

.

與平面所成的角的大小.………8分

(Ⅲ)同解法1.

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(選做題)本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,若多做,則按作答的前兩題評分,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.[選修4-1:幾何證明選講]
已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(不與點A,C重合),延長BD至點E.
求證:AD的延長線平分∠CDE
B.[選修4-2:矩陣與變換]
已知矩陣A=
12
-14

(1)求A的逆矩陣A-1;
(2)求A的特征值和特征向量.
C.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ,以極點為原點,極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
(t為參數(shù)),求直線l被曲線C截得的線段長度.
D.[選修4-5,不等式選講](本小題滿分10分)
設(shè)a,b,c均為正實數(shù),求證:
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題包括(1)、(2)、(3)、(4)四小題,請選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)答,
若多做,則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(1)、選修4-1:幾何證明選講
如圖,∠PAQ是直角,圓O與AP相切于點T,與AQ相交于兩點B,C.求證:BT平分∠OBA
(2)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)
若點A(2,2)在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對應(yīng)變換的作用下得到的點為B(-2,2),求矩陣M的逆矩陣
(3)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)
在極坐標系中,A為曲線ρ2+2ρcosθ-3=0上的動點,B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動點,求AB的最小值.
(4)選修4-5:不等式選講(本小題滿分10分)
已知a1,a2…an都是正數(shù),且a1•a2…an=1,求證:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

必做題:(本小題滿分10分,請在答題指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
已知an(n∈N*)是二項式(2+x)n的展開式中x的一次項的系數(shù).
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(Ⅱ)是否存在等差數(shù)列{bn},使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn對一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(選修4-2:矩陣與變換)(本小題滿分10分)
求矩陣A=
32
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的逆矩陣.

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同步練習(xí)冊答案