Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+k（1{-a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}-4x{+（3-a）}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，a∈R，對任意非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]∪[8，+∞）．

Answer 1

分析 由題意結(jié)合函數(shù)圖象可將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有實(shí)數(shù)解，解△≥0可得．

解答 解：∵f（x）=）=$\left\{\begin{array}{l}{x+k（1{-a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}-4x{+（3-a）}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=k（1-a²），
∵對任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立．
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，∴（3-a）²=k（1-a²），
問題轉(zhuǎn)化為（k+1）a²-6a+9-k=0有實(shí)數(shù)解，
∴△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k≤0或k≥8．
故答案為：（-∞，0]∪[8，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)和二次不等式的解法，屬中檔題．