Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxsin(x+

π

2

)+sin2x(x∈R)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)解析式第一項利用誘導公式化簡，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式變形，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質即可求出f（x）的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=

3

sinxcosx+sin²x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
則函數(shù)f（x）的最小正周期是π；  
 （Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，即sin（2x-

π

6

）+

1

2

∈[0，

3

2

]，
則f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值分別為

3

2

，0．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．