已知,橢圓C以雙曲線(xiàn)數(shù)學(xué)公式的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)(M、N不是左右頂點(diǎn)),且以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(2,0),求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

解:根據(jù)題意:雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(1,0)
∵橢圓C以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為焦點(diǎn).
∴橢圓的頂點(diǎn)為(-2,0),(2,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為2,(-1,0),(1,0)
∴a=2,b=3
∴橢圓的方程是:
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 聯(lián)立y=kx+m,
整理得:(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0
△=64m2k2-4(4k2+3)(4m2-12)>0
解得:m2<4k2+3 ①
由韋達(dá)定理:x1+x2=-8mk/(3+4k2).x1x2=(4m2-12)/(3+4k2
所以y1y2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=(3m2-12k2)/(3+4k2
因?yàn)橐訫V為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A(2,0)
所以
∴7m2+16mk+4k2=0
解得:m1=-2k/7,m2=-2k
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m=-2k/7或m=-2k時(shí),①式均成立
而當(dāng)m=-2k時(shí),直線(xiàn)l:y=k(x-2),過(guò)右頂點(diǎn),不合題意所以m=-2k/7,
∴直線(xiàn)l:y=k(x-2/7).過(guò)定點(diǎn)(2/7,0)
分析:(1)先由雙曲線(xiàn)求出相應(yīng)的實(shí)半軸,虛半軸和半焦距,再利用橢圓和雙曲線(xiàn)的關(guān)系求解.
(2)由以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(2,0),則線(xiàn)段MN對(duì)應(yīng)的圓周角為直角,有,再由M,N是直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)求解.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查圓錐曲線(xiàn)間的關(guān)系及性質(zhì)的應(yīng)用,同時(shí)考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系在解決平面圖形中的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),其焦距為2c,若
c
a
=
5
-1
2
(≈0.618),則稱(chēng)橢圓C為“黃金橢圓”.
(1)求證:在黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)中,a、b、c成等比數(shù)列.
(2)黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(c,0),P為橢圓C上的任意一點(diǎn).是否存在過(guò)點(diǎn)F2、P的直線(xiàn)l,使l與y軸的交點(diǎn)R滿(mǎn)足
RP
=-3
PF2
?若存在,求直線(xiàn)l的斜率k;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在黃金橢圓中有真命題:已知黃金橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c,0)、F2(c,0),以A(-a,0)、B(a,0)、D(0,-b)、E(0,b)為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)F1、F2.試寫(xiě)出“黃金雙曲線(xiàn)”的定義;對(duì)于上述命題,在黃金雙曲線(xiàn)中寫(xiě)出相關(guān)的真命題,并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,橢圓C以雙曲線(xiàn)x2-
y23
=1
的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)(M、N不是左右頂點(diǎn)),且以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(2,0),求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知,橢圓C以雙曲線(xiàn)x2-
y2
3
=1
的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)(M、N不是左右頂點(diǎn)),且以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(2,0),求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年天津市武清區(qū)楊村四中高三(上)第三次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知,橢圓C以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)(M、N不是左右頂點(diǎn)),且以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(2,0),求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案