Question

函數(shù)f（x）=2asin（2x-

π

3

）+b（a＞0）定義域[0，

π

2

]，函數(shù)的最大值為1，最小值為-5，
（1）求a和b；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）的對(duì)稱軸．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，從而得到x=0時(shí)sin(2x-

π

3

)有最小值且當(dāng)x=

5π

12

時(shí)sin(2x-

π

3

)有最大值，由此對(duì)立關(guān)于a、b的方程組，解之即可得到實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，解關(guān)于x的不等式-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z），同理可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（3）根據(jù)正弦曲線的對(duì)稱軸方程公式，解2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z）得x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z），即得函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸方程．

解答：解：（1）∵定義域x∈[0，

π

2

]，可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴可得當(dāng)x=0時(shí)，sin(2x-

π

3

)=-

3

2

達(dá)到最小值；當(dāng)x=

5π

12

時(shí)，sin(2x-

π

3

)=1達(dá)到最大值
結(jié)合a＞0，可得{

2a+b=1 - 3 a+b=-5

，解得a=12-6

3

，b=-23+12

3

；
（2）由（1）得f（x）=（24-12

3

）sin（2x-

π

3

）-23+12

3

令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z），
同理可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z），
（3）令2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），可得x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正弦曲線型三角函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與圖象的對(duì)稱軸．著重考查了三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間求法等知識(shí)，屬于中檔題．