Question

以橢圓的短軸的一個端點B（0，1）為直角頂點，作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形的個數(shù)為

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

D
分析：設(shè)直角三角形一腰所在直線為y=kx+1（k＞0），則另一腰所在直線方程為y=-kx+1，分別代入橢圓方程，求得兩腰的長，由兩腰長相等得關(guān)于k的方程，討論方程的根的個數(shù)即可得符合條件的三角形的個數(shù)．
解答：因a=2＞1，短軸一端點為B（0，1），內(nèi)接直角三角形為△ABC，
則兩腰所在直線的斜率一定存在且不為0，?
設(shè)BC：y=kx+1（k＞0）?
則AB：y=-x+1
把BC方程代入橢圓，?
得（1+4k²）x²+24kx=0?
∴|BC|=，同理|AB|=，
由|AB|=|BC|，得?k³-4k²+4k-1=0?
（k-1）[k²-3k+1]=0
∴k=1或k²-3k+1=0?
當k²-3k+1=0時，△=3²-4＞0??
∵△＞0，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解
符合條件的等腰三角形可作三個．
故選D．
點評：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，通過聯(lián)立方程求曲線交點進而求弦長的方法，將符合條件的三角形個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為討論方程根的個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．