過點(diǎn)P(1,4)引一條直線l,使它在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是正數(shù)且它們的和最小,求直線l的方程.
分析:設(shè)直線方程為
x
a
+
y
b
=1
(a>0,b>0),得
1
a
+
4
b
=1
,進(jìn)而得到l在兩條坐標(biāo)軸上的截距的和a+b=(a+b)(
1
a
+
4
b
)=5+
b
a
+
4a
b
,最后利用基本不等式求最值,根據(jù)取等號(hào)的條件得出a、b之值,即可得出直線l的方程.
解答:解:設(shè)直線方程為
x
a
+
y
b
=1
(a>0,b>0)
∵P(1,4)在直線l上,
1
a
+
4
b
=1

由此可得直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距的和滿足
a+b=(a+b)(
1
a
+
4
b
)=5+
b
a
+
4a
b

∵a>0,b>0,得
b
a
+
4a
b
≥2
b
a
4a
b
=4
∴當(dāng)且僅當(dāng)
b
a
=
4a
b
=2時(shí),即a=3且b=6時(shí),
直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距的和得最小值為5+4=9
此時(shí)直線方程為
x
3
+
y
6
=1
,即2x+y-6=0
∴直線l的方程是2x+y-6=0.
點(diǎn)評(píng):本題給出經(jīng)過點(diǎn)P(1,4)且與兩坐標(biāo)軸交于正半軸的直線l,求l在兩軸截距和最小時(shí)直線l的方程,著重考查了直線的基本量與基本形式和基本不等式等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過點(diǎn)P(1,2)引一直線L,使它與A(2,3),B(4,-5)兩點(diǎn)的距離都相等,求直線L的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

過點(diǎn)P(1,4)引一條直線l,使它在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是正數(shù)且它們的和最小,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省南昌二中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

過點(diǎn)P(1,4)引一條直線l,使它在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是正數(shù)且它們的和最小,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省南昌二中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

過點(diǎn)P(1,4)引一條直線l,使它在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是正數(shù)且它們的和最小,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案