已知向量
a
,
b
,滿足|
a
|=1,|
b
|=1
,|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|
,k>0,
(1)用k表示
a
b
,并求
a
b
的夾角θ的最大值;
(2)如果
a
b
,求實數(shù)k的值.
分析:(1)利用向量的模的平方等于向量的平方,利用向量的運算律表示出
a
b
;利用基本不等式求出數(shù)量積的取值范圍,
利用向量的數(shù)量積公式表示出夾角余弦,求出夾角范圍.
(2)根據(jù)向量共線的夾角是0°或180°,利用向量的數(shù)量積公式列出等式求出k值.
解答:解:(1)|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|?(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2

即∴k2
a
2
+2k
a
b
+
b
2
=3
a
2
-6k
a
b
+3k2
b
2
?
a
b
=
k2+1
4k

a
b
=
1
4
(k+
1
k
)≥
1
2
,.
此時cosθ=
a
b
|
a
||
b
|
=
a
b
1
2
?θmax=60°

(2)∵
a
b
,∴
a
b
夾角為0°或180°
a
b
=|
a
||
b
|cosθ=±1?|
k2+1
4k
|=1

又∵k>0,∴k2+1=4k?k=2±
3
點評:本題考查向量的模的平方等于向量的平方;向量的數(shù)量積公式表示向量的夾角;向量共線的充要條件.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
,
b
,滿足
a
=(1,2),
b
=(-2,1).
(1)求向量
a
-
b
的坐標(biāo),以及向量
a
-
b
a
的夾角;
(2)若向量
a
-
b
k
a
+
b
垂直,求實數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•藍山縣模擬)已知向量
a
b
,滿足(
a
+2
b
)(
a
-
b
)=-6,且|
a
|=1,|
b
|=2,則
a
b
的夾角為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
b
,滿足|
a
|=|
b
|=2,
a
b
的夾角為120°,則|
a
-
b
|的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
,
b
,滿足|
a
|=2,|
b
|=1
,且(
a
+
b
)⊥(
a
-
5
2
b
)
,則
a
b
的夾角為
 

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