Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四邊形ABCD為正方形，且P 為AD的中點，Q為SB的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面SAD；
（Ⅱ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅲ）若SA=SD，M為BC中點，在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN⊥平面ABCD，并證明你的結論．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD為正方形，則CD⊥AD．…（1分）
又平面SAD⊥平面ABCD，
且面SAD∩面ABCD=AD，
所以CD⊥平面SAD．…（3分）
（Ⅱ）取SC的中點R，連QR，DR．
由題意知：PD∥BC且PD=BC．…（4分）
在△SBC中，Q為SB的中點，R為SC的中點，
所以QR∥BC且QR=BC．
所以QR∥PD且QR=PD，
則四邊形PDRQ為平行四邊形．…（7分）
所以PQ∥DR．又PQ?平面SCD，DR?平面SCD，
所以PQ∥平面SCD． …（10分）
（Ⅲ）存在點N為SC中點，使得平面DMN⊥平面ABCD． …（11分）
連接PC、DM交于點O，連接PM、SP，
因為PD∥CM，并且PD=CM，
所以四邊形PMCD為平行四邊形，所以PO=CO．
又因為N為SC中點，
所以NO∥SP．…（12分）
因為平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，
所以SP⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD，…（13分）
又因為NO?平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD．…（14分）
分析：（Ⅰ）證明CD⊥AD，然后證明CD⊥平面SAD．
（Ⅱ）取SC的中點R，連QR，DR．推出PD=BC，QR∥BC且QR=BC．然后證明四邊形PDRQ為平行四邊形，即可證明PQ∥平面SCD．
（Ⅲ）存在點N為SC中點，使得平面DMN⊥平面ABCD．連接PC、DM交于點O，連接PM、SP，證明NO∥SP，NO⊥平面ABCD，然后證明平面DMN⊥平面ABCD．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力．