設數(shù)列滿足為實數(shù)

（Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；

（Ⅱ）設，證明：;

（Ⅲ）設，證明：

（Ⅰ）必要性 ： ，

                 又  ，即

充分性 ：設  ，對用數(shù)學歸納法證明

        當時，.假設

        則，且

，由數(shù)學歸納法知對所有成立

    （Ⅱ） 設 ，當時，，結論成立

         當 時，

         

          ,由（1）知，所以  且   

         

         

         

（Ⅲ）設 ，當時，，結論成立

 當時，由（2）知

 ．


解析:

（Ⅰ）必要性 ： ，

                 又  ，即

充分性 ：設  ，對用數(shù)學歸納法證明

        當時，.假設

        則，且

，由數(shù)學歸納法知對所有成立

    （Ⅱ） 設 ，當時，，結論成立

         當 時，

         

          ,由（1）知，所以  且   

         

         

         

（Ⅲ）設 ，當時，，結論成立

 當時，由（2）知

 ．

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   （2）設，證明：;

   （3）設，證明：．

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