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20.已知tan(α+β)=0,求證:sin(α+2β)+sinα=0.

分析 由條件可得α+β=kπ,k∈Z,若α+β=2nπ,n∈Z,則sinα=-sinβ,化簡 sin(α+2β)為 sinβ+sinα=0.若α+β=(2n-1)π,n∈Z,則sinα=sinβ,化簡 sin(α+2β)為-sinβ+sinα=0,從而證得結論.

解答 證明:∵tan(α+β)=0,∴sin(α+β)=0,cos(α+β)=±1,α+β=kπ,k∈Z,
若α+β=2nπ,n∈Z,則sin(α+β)=0,cos(α+β)=1,sinα=sin(2nπ-β)=-sinβ,
∴sin(α+2β)+sinα=sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβ+sinα=sinβ+sinα=0.
若α+β=(2n-1)π,n∈Z 可得α=(2n-1)π-β,∴sinα=sin(2nπ-π-β)=sinβ,
 sin(α+2β)+sinα=sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβ+sinα=-sinβ+sinα=0,
綜上可得,sin(α+2β)+sinα=0.

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式,同角三角的基本關系,屬于中檔題.

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