Question

設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）如果點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)在y軸上，求直線(xiàn)AB的方程；
（2）設(shè)為軸上一點(diǎn)，且，直線(xiàn)與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為C，證明：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).

Answer 1

（1）直線(xiàn)（即）的方程為或；（2）詳見(jiàn)解析．

試題分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，由此能求出直線(xiàn)（即）的方程．（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（在橢圓上），要證點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，只要證點(diǎn)與點(diǎn)C重合，又因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為C（與點(diǎn)不重合），所以只要證明點(diǎn)，，三點(diǎn)共線(xiàn)即可．
（1）橢圓的右焦點(diǎn)為，                                 1分
因?yàn)榫�(xiàn)段的中點(diǎn)在y軸上，              
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，                                
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
將代入橢圓的方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.              3分
所以直線(xiàn)（即）的方程為或.     5分
（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（在橢圓上），
要證點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
只要證點(diǎn)與點(diǎn)C重合，.
又因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為C（與點(diǎn)不重合），
所以只要證明點(diǎn)，，三點(diǎn)共線(xiàn).                                7分
以下給出證明：
由題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為,,，則.
由
得 ，                             9分
所以 ，
，.                        10分
在中，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，                      11分
設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，，
則  ，   12分
因?yàn)?nbsp;

 
，                     13分
所以 ，所以點(diǎn)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).       14分