Question

9．2015年7月9日21時15分，臺風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災(zāi)，5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元．距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風(fēng)的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅱ）小明向班級同學(xué)發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款．現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐款援助，設(shè)抽出損失超過8000元的居民為ξ戶，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）臺風(fēng)后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如表，根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)，分別求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？

	經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元	經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元	合計
捐款超過 500元	a=30	b
捐款不超 過500元	c	d=6
合計

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：臨界值表參考公式：，${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}，n=a+b+c+d$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，即可估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得，損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，即可求這兩戶在同一分組的概率；
（Ⅲ）求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）記每戶居民的平均損失為$\overline{x}$元，則：$\overline{x}$=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分）
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得，損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，
損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，
損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，
因此，這兩戶在同一分組的概率為P=$\frac{3×2+3×2}{6×5}$=$\frac{2}{5}$…（7分）
（Ⅲ）如圖：

	經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元	經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元	合計
捐款超過 500元	30	9	39
捐款不超 過500元	5	6	11
合計	35	15	50

K²=$\frac{50×（30×6-9×5）^{2}}{39×11×35×15}$≈4.046＞3.841，
所以有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否4000元有關(guān)．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖，獨立性檢驗知識，考查古典概型，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識綜合性強(qiáng)．