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11.已知函數(shù)f(x)=22x1
(1)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)求函數(shù)f(x)在[1,log26]上的最大值和最小值.

分析 (1)直接根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明,
(2)由(1)可知函數(shù)f(x)在[1,log26]為減函數(shù),代值計(jì)算即可得到最大值和最小值.

解答 解:(1):f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
證明如下:
任取x1、x2∈(0,+∞),且x1<x2;
∴f(x1)-f(x2)=22x11-22x21=2•2x22x12x112x21
∵0<x1<x2
2x22x1>0,
2x1-1>0,2x21>0,
∴f(x1)-f(x2)>0;
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
(2)由(1)可知函數(shù)f(x)在[1,log26]為減函數(shù),
∴f(x)max=f(1)=221=2,
f(x)min=f(log26)=261=25

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值,屬于基礎(chǔ)題.

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