已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式是奇函數(shù),f(-1)=-2,f(2)<3.
(1)求函數(shù)f(x)解析式;
(2)若g(x)=x•f(x),?(x)=g[g(x)]-λg(x),試問:是否存在實(shí)數(shù)λ,使∅(x)在(-∞,-1)內(nèi)是單調(diào)遞減,在(-1,0)內(nèi)是單調(diào)遞增的,若存在,求λ值;若不存在,說明理由.
(3)附加題:若數(shù)學(xué)公式,研究函數(shù)m(x),寫出m(x)性質(zhì),并畫出圖象.

解:(1)∵函數(shù)是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x)

∴c=0,f(x)=
∵f(-1)=-2,f(2)<3.


,解得-1<a<2
∵a∈Z
∴a=0或a=1
當(dāng)a=0時(shí),b=
當(dāng)a=1時(shí),b=1,滿足題意,此時(shí)f(x)=
(2)∵g(x)=xf(x)=1+x2,
∅(x)=g[g(x)]-λg(x)=g(1+x2)-λ(1+x2)=1+(1+x22-λ(1+x2
=x4+(2-λ)x2+2-λ
∴∅′(x)=4x3+2(2-λ)x
若使函數(shù)∅(x)在(-∞,-1)內(nèi)是單調(diào)遞減,在(-1,0)內(nèi)是單調(diào)遞增
則∅;(-1)=0即-4-2(2-λ)=0
∴λ=4,此時(shí)∅(x)=x4-2x2-2,∅′(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)
∅′(x)>0可得x>1或-1<x<0,即函數(shù)在(1,+∞),(-1,0)單調(diào)遞增
∅′(x)<0可得0<x<1或x<-1即函數(shù)在(0,1),(-∞,-1)單調(diào)遞減
使∅(x)在(-∞,-1)內(nèi)是單調(diào)遞減,在(-1,0)內(nèi)是單調(diào)遞增的λ=4
(3)m(x)=f(x)-=,圖象如右
定義域:(-∞,0)∪(0,+∞)
值域:R
奇偶性:m(-x)=-x+=-m(x),函數(shù)為奇函數(shù)
單調(diào)性:在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增
分析:(1)由題意可得f(-x)=-f(x),即可求c,再由f(-1)=-2,f(2)<3結(jié)合a,b∈Z 可求a,b,進(jìn)而可求f(x)
(2)由(1)可得g(x)=xf(x)=1+x2,則∅(x)=g[g(x)]-λg(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ,對函數(shù)求導(dǎo)可得∅′(x)=4x3+2(2-λ)x,若使函數(shù)∅(x)在(-∞,-1)內(nèi)是單調(diào)遞減,在(-1,0)內(nèi)是單調(diào)遞增,則∅;(-1)=0即-4-2(2-λ)=0,可求λ,代入檢驗(yàn)是否符合題意
(3)m(x)=f(x)-=,從函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面研究函數(shù)的性質(zhì)
點(diǎn)評:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的存在及函數(shù)性質(zhì)的研究,考查了考試探索新問題的能力
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(1)求b的值;
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已知函數(shù)(a>0),有下列四個(gè)命題:
①f(x)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞);
②f(x)是奇函數(shù);
③f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞增;
④方程|f(x)|=a總有四個(gè)不同的解,其中正確的是( )
A.僅②④
B.僅②③
C.僅①②
D.僅③④

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