在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)．

(1)求證：面A1AO⊥面BCC1B1；

(2)當(dāng)AA1與底面成45°角時(shí)，求二面角A1－AC－B的大��；

(3)若D為側(cè)棱AA1上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，BD⊥A1C1．

答案：
解析：

　　證明：(1)連AO，∵⊿ABC為正三角形，∴AO⊥BC．

　　又∵A1O⊥面ABC，∴A1O⊥BC，∴BC⊥面A1AO

　　∴面A1AO⊥面BCC1B1　4分

　　(2)過(guò)O作OE⊥AC于E，連A1E，

　　∵A1O⊥面ABC，

　　∴，∴∠A1EO即為所求的平面角．

　　∵正⊿ABC的邊長(zhǎng)為，∠A1AO＝45°，

　　∴．

　　

　　∴二面角A1－AC－B的大小為arctan2．8分

　　(3)過(guò)D作DF∥A1O交AO于F，則DF⊥面ABC，

　　連BF，要使BD⊥A1C1，只要使BF⊥AC，

　　∵⊿ABC為正三角形，

　　∴只要F為△ABC的中心即可，

　　∴時(shí)，BD⊥A1C1．12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EA⊥EB1，已知AB=
2
，BB1=2，BC=1，∠BCC1=
π
3
，求：
（Ⅰ）異面直線AB與EB1的距離；
（Ⅱ）二面角A-EB1-A1的平面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，平面ABC1⊥平面AA1C1C，∠AA1C1=∠BAC1=60°，設(shè)AC1與AC相交于點(diǎn)O，如圖．
（I）求證：BO⊥平面AA1C1C；
（Ⅱ）求二面角B1-AC1-A1的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為2
3
的正三角形，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A1A⊥BC；
（2）當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45°角時(shí)，求二面角A1-AC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•四川）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)．
（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說(shuō)明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1-QC1D的體積．（錐體體積公式：V=
13
Sh，其中S為底面面積，h為高）

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