Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-x，數列{a_n}滿足條件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1），
（1）證明：a_n≥2ⁿ-1（n∈N^*）
（2）試比較

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

與1的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，再利用a_n+1≥f′（a_n+1），得a_n+1≥a₂ⁿ+2a_n，借助于數學歸納法加以證明；
（2）由（1）得

1

1+an

≤

1

2n

，利用放縮法，再利用等比數列的求和公式即可證得．

解答：解：（1）證明：∵f′（x）=x²-1，∴a_n+1≥a_n²+2a_n…（2分）
1）當n=1時，a₁≥1=2¹-1，命題成立； …（3分）
2）假設當n=k（k≥1）時命題成立，即a_k≥2^k-1；
那么當n=k+1時，a_k+1≥a_k²+2a_k=a_k（a_k+2）=2^2k-1≥2^k+1-1…（6分）
即當n=k+1時，命題成立；
所以，綜上所述，命題成立…（7分）
（2）∵a_n≥2ⁿ-1，∴1+a_n≥2ⁿ，∴

1

1+an

≤

1

2n

，∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

≤

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1…（12分）

點評：本題主要考查與數列有關的不等式的證明問題，考查了數學歸納法及放縮法的證明，有一定的綜合性．