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19.已知函數(shù)f(x)=1|x|1+|x|+a1+|x|1|x|(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,判斷f(x)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性,并說明理由;
(Ⅱ)若a>0時,對于區(qū)間[1212]上任意取的三個實數(shù)m,n,p,都存在以f(m),f(n),f(p)為邊長的三角形,試求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)把a=-1代入可得fx=1|x|1+|x|1+|x|1|x|,易得偶函數(shù),討論0≤x<1時的單調(diào)性,綜合可得;
(Ⅱ)令t=1|x|1+|x|,由12x12t=2|x|+11[131],問題轉(zhuǎn)化為2yminymax,分類討論可得.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,fx=1|x|1+|x|1+|x|1|x|
可得f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù),
只討論0≤x<1時的單調(diào)情況即可,
t=1|x|1+|x|(0<t≤1),去絕對值可得t=1x1+x=2x+11
易得t在x∈[0,1)上單調(diào)遞減,y=t1t在t∈(0,1]上單調(diào)遞增,
∴函數(shù)f(x)在[0,1)上單調(diào)遞減,∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
∴f(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)令t=1|x|1+|x|,由12x12t=2|x|+11[131],
y=t+at13t1,由題意可得在區(qū)間[131]上,恒有2yminymax,
①當(dāng)0a19時,y=t+at[131]上單調(diào)遞增,ymax=a+1ymin=3a+13,
2yminymax,得a115,從而115a19;
②當(dāng)19a13時,y=t+at[13a]上單調(diào)遞減,在[a1]上單調(diào)遞增,
ymin=2aymax=max{3a+13a+1}=a+1
2yminymax743a7+43,從而19a13;
③當(dāng)13a1時,y=t+at[13a]上單調(diào)遞減,在[a1]上單調(diào)遞增,
ymin=2aymax=max{3a+13a+1}=3a+13,
2yminymax7439a7+439,從而13a1; 
④當(dāng)a≥1時,y=t+at[131]上單調(diào)遞減,ymin=a+1ymax=3a+13
2yminymaxa53,從而1a53;
綜上可得115a53

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,涉及分類討論研究函數(shù)的最值,屬中檔題.

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