Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

對(duì)于定義域?yàn)?sub>的函數(shù)，若有常數(shù)M，使得對(duì)任意的，存在唯一的滿足等式，則稱M為函數(shù)f (x)的“均值”．

（1）判斷1是否為函數(shù)≤≤的“均值”，請(qǐng)說明理由；

（2）若函數(shù)為常數(shù)）存在“均值”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閰^(qū)間I．試探究函數(shù)的“均值”情況（是否存在、個(gè)數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論（不必證明）．

說明：對(duì)于（3），將根據(jù)結(jié)論的完整性與一般性程度給予不同的評(píng)分

Answer 1

解：（1）對(duì)任意的，有，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有，     

故存在唯一，滿足，              ……………………2分

所以1是函數(shù)的“均值”．            ……………………4分

(另法：對(duì)任意的，有，令，

則，且，     

若，且，則有，可得，

故存在唯一，滿足，              ……………………2分

所以1是函數(shù)的“均值”．            ……………………4分）

（2）當(dāng)時(shí)，存在“均值”，且“均值”為；…………5分

當(dāng)時(shí)，由存在均值，可知對(duì)任意的，

都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，從而有單調(diào)，

故有或，解得或或，         ……………………9分

綜上，a的取值范圍是或．　　　　　　　　　   ……………………10分

（另法：分四種情形進(jìn)行討論）

（3）①當(dāng)I 或時(shí)，函數(shù)存在唯一的“均值”．

這時(shí)函數(shù)的“均值”為； 　                     …………………12分

②當(dāng)I為時(shí)，函數(shù)存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”．

這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”；        　　　 　　……………………14分

③當(dāng)I 或或或或或時(shí)，

函數(shù)不存在“均值”．     　　　　　　　　　　　　　……………………16分

[評(píng)分說明：若三種情況討論完整且正確，但未用等價(jià)形式進(jìn)行敘述，至多得6分；若三種情況討論不完整，且未用等價(jià)形式敘述，至多得5分]

①當(dāng)且僅當(dāng)I形如、其中之一時(shí)，函數(shù)存在唯一的“均值”．

這時(shí)函數(shù)的“均值”為； 　                    ……………………13分

②當(dāng)且僅當(dāng)I為時(shí)，函數(shù)存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”．

這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”；        　　　 　　……………………16分

③當(dāng)且僅當(dāng)I形如、、、、、其中之一時(shí)，函數(shù)不存在“均值”．     　　　　　　　　 　　　 　　……………………18分

（另法：①當(dāng)且僅當(dāng)I為開區(qū)間或閉區(qū)間時(shí)，函數(shù)存在唯一的“均值”．這時(shí)函數(shù)的均值為區(qū)間I兩端點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)；                     ……………………13分

②當(dāng)且僅當(dāng)I為時(shí)，函數(shù)存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”．這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”；                                       ……………………16分

③當(dāng)且僅當(dāng)I為除去開區(qū)間、閉區(qū)間與之外的其它區(qū)間時(shí)，函數(shù)不存在“均值”．                                              ……………………18分）

評(píng)分說明：在情形①與②中，等價(jià)關(guān)系敘述正確但未正確求出函數(shù)“均值”，各扣1分