Question

已知m＞1，且存在x∈[-2，0]，使不等式x²+2mx+m²-m≤0成立，則m的最大值為_(kāi)_______．

Answer 1

4
分析：由已知，f（x）=x²+2mx+m²-m在x∈[-2，0]上的值域內(nèi)存在非正數(shù)，f（x）的最小值應(yīng)為非正數(shù)．求出f（x）的最小值，令其小于或等于0，求出m的取值范圍再確定m的最大值．
解答：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+2mx+m²-m．記f（x）在x∈[-2，0]上的值域?yàn)镃，由已知，值域C內(nèi)存在非正數(shù)．∴f（x）的最小值應(yīng)為非正數(shù)．
f（x） 的對(duì)稱(chēng)軸x=-m，
①當(dāng)m≥2時(shí)，-m≤-2，f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，f（x）的最小值 為f（-2），
由f（-2）≤0，得4+2m×（-2）+m²-m≤0，m²-5m+4≤0，1≤m≤4，
∴2≤m≤4．
②當(dāng)1＜m＜2時(shí)，-2＜-m＜-1，f（x）在[-2，0]上先減后增，最小值 為f（-m），
由f（-m）≤0，得-m≤0，m≥0，
∴1＜m＜2
由①②可得m的取值范圍是1＜m≤4．，m的最大值是4
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與不等式的結(jié)合，考查不等式解的概念，二次函數(shù)最值求解，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題、轉(zhuǎn)化計(jì)算、分類(lèi)討論的思想方法和能力．分析出f（x）的最小值 小于或等于0 是本題的關(guān)鍵．