Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)a=2，b=-2時(shí)，求f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）的圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，且直線是線段AB的垂直平分線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解∵f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）當(dāng)a=2，b=-2時(shí)，f（x）=2x²-x-4．
設(shè)x為其不動(dòng)點(diǎn)，即2x²-x-4=x．
則2x²-2x-4=0．∴x₁=-1，x₂=2．即f（x）的不動(dòng)點(diǎn)是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有相異二實(shí)根，△_x＞0恒成立，即b²-4a（b-2）＞0．即b²-4ab+8a＞0對(duì)任意b∈R恒成立．∴△_b＜0．，∴16a²-32a＜0，∴0＜a＜2．
（3）設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
直線是線段AB的垂直平分線，∴k=-1
記AB的中點(diǎn)M（x₀，x₀）．由（2）知，∵，∴．
化簡得：時(shí)，等號(hào)成立）．
即0＞．即[-）．
分析：（1）設(shè)x為不動(dòng)點(diǎn)，則有2x²-x-4=x，變形為2x²-2x-4=0，解方程即可．
（2）將f（x）=x轉(zhuǎn)化為ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有相異二實(shí)根，則有△_x＞0恒成立求解；
（3）由垂直平分線的定義解決，由A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，則有k_AB=1，再由直線是線段AB的垂直平分線，得到k=-1，再由中點(diǎn)在直線上求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的解法，方程根的情況以及垂直平分線定義的應(yīng)用．