【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),為定點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,且,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交曲線于,兩點(diǎn),為曲線上異于,的任意一點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).問是否為定值?若是,求的值;若不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)是定值,.
【解析】
(1)設(shè)出M的坐標(biāo)為,采用直接法求曲線的方程;
(2)設(shè)AB的方程為,,,,求出AT方程,聯(lián)立直線方程得D點(diǎn)的坐標(biāo),同理可得E點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用向量數(shù)量積算即可.
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由知∥,又在直線上,
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為,又,點(diǎn)為的中點(diǎn),所以,,,
由得,即;
(2)
設(shè)直線AB的方程為,代入得,設(shè),,
則,,設(shè),則,
所以AT的直線方程為即,令,則
,所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為,同理E點(diǎn)的坐標(biāo)為,于是,
,所以
,從而,
所以是定值.
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【題目】設(shè)a,b∈R,若x≥0時(shí)恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤(x2﹣1)2,則ab等于 _________ .
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【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形, , , 底面, , , 是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn),A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),點(diǎn)B也在橢圓上,且滿足(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),若橢圓的離心率等于
(1)求直線AB的方程;
(2)若三角形ABF2的面積等于,求橢圓的方程.
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【題目】已知正方形的邊長(zhǎng)為2, 是的中點(diǎn),以點(diǎn)為圓心, 長(zhǎng)為半徑作圓,點(diǎn)是該圓上的任一點(diǎn),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足:
對(duì)于任意,都有成立.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②設(shè)數(shù)列,問:數(shù)列中是否存在三項(xiàng),使得它們構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出這三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線經(jīng)過點(diǎn).曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)作直線的垂線交曲線于兩點(diǎn)(在軸上方),求的值.
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【題目】某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的組委會(huì)為了搞好接待工作,招募了30名男志愿者和20名女志愿者.調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些志愿者中有部分志愿者喜愛運(yùn)動(dòng),另一部分志愿者不喜歡運(yùn)動(dòng),并得到了如下等高條形圖和列聯(lián)表:
喜愛運(yùn)動(dòng) | 不喜愛運(yùn)動(dòng) | 總計(jì) | |
男生 | 30 | ||
女生 | 20 | ||
總計(jì) | 50 |
(1)求出列聯(lián)表中的值;
(2)是否有的把握認(rèn)為喜愛運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?附:參考公式和數(shù)據(jù):,(其中)
0.500 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
0.455 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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