Question

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（a＞b＞0），A、B是其左、右頂點，動點M滿足MB⊥AB，連接AM交橢圓于點P，若MO⊥PB，則橢圓的離心率為________．

Answer 1

分析：可設(shè)出直線AM的方程，與直線MB的方程聯(lián)立可求得M點的坐標(biāo)，從而可得OM的斜率，繼而有直線BP的方程，與直線AM的方程聯(lián)立可求得P點的坐標(biāo)，代入橢圓方程，整理即可求得橢圓的離心率．
解答：依題意，A（-a，0），設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+a），①與直線MB的方程聯(lián)立得M（a，2ka），
∴OM的斜率k_OM=2k，
∵M(jìn)O⊥PB，
∴k_BP=-，又B（a，0），
∴直線BP的方程為：y=-（x-a），②
∴由①②聯(lián)立得P點的坐標(biāo)為：P（，），
∵點P在橢圓+=1（a＞b＞0），
∴+=1，
∴4a²k²=8b²k²，k≠0，
∴a²=2b²=2（a²-c²），
∴a²=2c²，
∴e==．
故答案為：．
點評：本題考查直線的方程，考查直線的垂直，考查橢圓的方程與橢圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，求得P點的坐標(biāo)是關(guān)鍵，也是難點，考查抽象思維與推理運算能力，屬于難題．