Question

已知函數(shù)f（x）=

1

(1-x)n

+aln（x-1），n∈N^*，a為常數(shù)．
（1）當n=2時，判斷f（x）的單調性，寫出單調區(qū)間；
（2）當a=1時，證明：對?n∈N^*，當x≥2時，恒有y=f（x）圖象不可能在y=x-1圖象的上方．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當n=2時，f（x）=

1

(x-1)2

+aln(x-1)，（x＞1）．f′（x）=

a(x-1)2-2

(x-1)3

．對a分類討論：a≤0，a＞0時，利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系即可得出；
（2）當a=1時，函數(shù)f（x）=

1

(1-x)n

+ln（x-1），n∈N^*，（x≥2）．令h（x）=

1

(1-x)n

+ln(x-1)-(x-1)（x≥2），則h′（x）=

n

(1-x)n+1

+

2-x

x-1

．當n為正偶數(shù)時，可得h′（x）＜0，利用h（x）在[2，+∞）上單調遞減，即可證明．當n為正奇數(shù)時，f（x）=

-1

(x-1)n

+ln(x-1)，當x≥2時，

-1

(x-1)n

＜0，f（x）＜ln（x-1），又ln（x-1）＜x-1，因此f（x）＜x-1恒成立．利用導數(shù)給出證明即可

解答： （1）解：當n=2時，f（x）=

1

(x-1)2

+aln(x-1)，（x＞1）．
∴f′（x）=

a(x-1)2-2

(x-1)3

．（i）當a≤0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調遞減．
（ii）當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=1±

2 a

．
當x∈(1，1+

2 a

)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間(1，1+

2 a

)上單調遞減；
當x∈(1+

2 a

，+∞)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間(1+

2 a

，+∞)上單調遞增．
綜上所述：當a≤0時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調遞減．
當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間(1，1+

2 a

)上單調遞減；函數(shù)f（x）在區(qū)間(1+

2 a

，+∞)上單調遞增．
（2）證明：當a=1時，函數(shù)f（x）=

1

(1-x)n

+ln（x-1），n∈N^*，（x≥2）．
令h（x）=

1

(1-x)n

+ln(x-1)-(x-1)（x≥2），則h′（x）=

n

(1-x)n+1

+

2-x

x-1

．
（i）當n為正偶數(shù)時，h′（x）＜0，∴h（x）在[2，+∞）上單調遞減，∴h（x）≤h（2）=0．
即

1

(1-x)n

+ln(x-1)≤x-1（x≥2）．
∴對?n為正偶數(shù)，當x≥2時，恒有y=f（x）圖象不可能在y=x-1圖象的上方．
（ii）當n為正奇數(shù)時，f（x）=

-1

(x-1)n

+ln(x-1)，
當x≥2時，∵

-1

(x-1)n

＜0，∴f（x）＜ln（x-1），又ln（x-1）＜x-1，因此f（x）＜x-1恒成立．
下面給出證明：令g（x）=ln（x-1）-（x-1）（x≥2）．則g′（x）=

1

x-1

-1=

2-x

x-1

≤0，
∴g（x）在[2，+∞）單調遞減．
∴g（x）≤g（2）=-1＜0，∴l(xiāng)n（x-1）＜x-1恒成立．
因此f（x）＜x-1恒成立．
對?n為正奇數(shù)，當x≥2時，恒有y=f（x）圖象不可能在y=x-1圖象的上方．
故當a=1時，對?n∈N^*，當x≥2時，恒有y=f（x）圖象不可能在y=x-1圖象的上方．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，考查了靈活解決問題的能力，屬于難題．