Question

已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（-3）=

1

8

，定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

c-g(x)

1+g(x)

是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）與f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明之；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-1，1]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）選設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，代入函數(shù)值，求出a的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)，符合題意；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，用定義法作差證明即可；
（3）先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，從而求出m的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)g（x）=a^x，則g(-3)=a-3=

1

8

解得：a=2，所以g（x）=2^x
所以f(x)=

c-2x

1+2x

，令f（0）=0得

c-1

2

=0，所以c=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)c=1時(shí)，f(x)=

1-2x

1+2x

為奇函數(shù)，符合題意，
所以f(x)=

1-2x

1+2x

；
（2）f（x）在R上單調(diào)遞減，
證明如下：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1-2x1

1+2x1

-

1-2x2

1+2x2

=

(1-2x1)(1+2x2)-(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

=

(1-2x1+2x2-2x1+x2)-(1-2x2+2x1-2x1+x2)

(1+2x1)(1+2x2)

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

=

2•2x1(2x2-x1-1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
因?yàn)?span id="jjrrjyg" class="MathJye">2x1＞0，2x2＞0，所以(1+2x1)(1+2x2)＞0
而x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，2x2-x1＞1，2x2-x1-1＞0，
所以

2•2x1(2x2-x1-1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在R上單調(diào)遞減；
（3）由（2）知f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，所以f（-1）≤f（x）≤f（1）
即f（x）在[-1，1]上的值域?yàn)?span id="cdwatmy" class="MathJye">[-

1

3

，

1

3

]，
要使得關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-1，1]上有解，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-

1

3

，

1

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式的求法，考查了定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查了求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．