Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點在橢圓上，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）記橢圓的左、右頂點分別為，過點或作一條直線交橢圓于、（不與重合）兩點，直線交于點，記直線的斜率分別為.

①對于給定的，求的值；

②是否存在一個定值使得恒成立，若存在，求出值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在,.

【解析】

（1）結(jié)合點在橢圓上和橢圓的離心率可解得，，進而寫出橢圓的標準方程；

（2）①利用點斜式寫出直線和的方程分別為和，再分別與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，可求得，，然后利用、、三點共線時，任意兩點構(gòu)成的直線斜率相等來構(gòu)造等式即可得解，需要注意的是驗證不符合題意；

②聯(lián)立直線和的方程可解得點，再利用、兩點的坐標表示出直線的斜率，然后結(jié)合①中得到的結(jié)論，計算化簡可得到，進而得解．

（1）根據(jù)題意，離心率，解得，，

所以橢圓的標準方程；

（2）①因為橢圓的左、右頂點分別為，，所以，，

因為直線，的斜率分別為，，所以直線和的方程分別為和，

設(shè)，的坐標分別為，，，，

聯(lián)立得，，

則，即，

解得，，所以．

同理可得，點的坐標為．

因為、、三點共線，所以，即，

化簡得．

所以或，即或．

當時，此時點位于橢圓的上或下頂點，即、分別與，重合，與題干矛盾，故舍去．

綜上，對于給定的，．

②由①知直線和的方程分別為和，

聯(lián)立可解得點的坐標為，

因為點，所以，

化簡得，

由①的結(jié)論可知，所以，將其代入上式，

化簡整理后可得，，

故存在定值使得恒成立，且．