Question

已知x軸上的兩點(diǎn)A，B分別是橢圓的左右兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M線段PB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，且，求直線EF的方程．

Answer 1

解：（1）∵線段PB與y軸的交點(diǎn)M線段PB的中點(diǎn)，
∴OM是△PAB的中位線
∵OM⊥AB，∴PA⊥AB
∵點(diǎn)在橢圓上，∴
∴a²=2，b²=1，c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)EF：x=my-1（m＞0），代入橢圓方程得（m²+2）y²-2my-1=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由，得y₁=-2y₂．
由y₁+y₂=-y₂=，y₁y₂=-2y₂²=
得2（-）²=，
∴m=，m=-（舍去），
直線EF的方程為：x=y-1，即7x-y+7=0．
分析：（1）利用點(diǎn)在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M線段PB的中點(diǎn)，列出橢圓的三個參數(shù)a，b，c的關(guān)系，通過解方程組求出a，b，c的值，寫出橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于y的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件中的向量關(guān)系找到有關(guān)直線方程中的待定系數(shù)滿足的等式，解方程求出直線的方程
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用．解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系找突破口．