Question

設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4 ( 

2

-1 )，
（1）求此橢圓方程，并求出準(zhǔn)線方程；
（2）若P在左準(zhǔn)線l上運(yùn)動(dòng)，求tan∠F₁PF₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）由 b=c，a-c=4（

2

-1），及a²=b²+c²  解出 a、b、c 的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)P（-8，t），設(shè)直線PF₁的斜率k₁，直線PF₂的斜率k₂，利用到角公式進(jìn)行計(jì)算，由此能導(dǎo)出tan∠F₁PF₂的最大值．

解答：解：（1）設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如圖，
B₁F₁⊥B₂F₁，
且|A1F1| =4 ( 

2

-1 )
∴

a-c=4 (  2 -1 ) b=c a2=b2+c2

（5分）
∴a²=32，b²=16（7分）
∴橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1，準(zhǔn)線方程為x=±8（9分）
（2）設(shè)P（-8，t），∵F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
則tan∠F1PF2= |

8t

48+t2

| = |

8

48 t +t

| ≤

8

2 48

=

4

4 3

=

3

3

當(dāng)P（-8，±4

3

）最大值為

3

3

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，注意利用焦點(diǎn)到橢圓的最短距離為a-c．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．