已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記f（x）在區(qū)間[0，π]（n∈N*）上的最小值為bx令an=ln（1+n）-bx．如果對一切n，不等式數(shù)學(xué)公式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解：（I）因?yàn)閒（x）=ln（1+x）-x，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?1，+∞），且f′（x）=-1=．
由f′（x）＞0，即，得：-1＜x＜0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；
由f′（x）＜0，即，得：x＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（II）因?yàn)閒（x）在[0，n]上是減函數(shù)，所以bn=f（n）=ln（1+n）-n，
則an=ln（1+n）-bn=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
如果對一切n，不等式恒成立，
等價(jià)于對一切n∈N*恒成立，
由＞．
因此c≤1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，1]．
分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0求函數(shù)的減區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，n]（n∈N*）上為減函數(shù)，則bn=f（n），代入an=ln（1+n）-bn后可得an，把不等式式分離出c后利用放縮法可求c的最大值．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分離變量法，訓(xùn)練了利用放縮法求解不等式的最值，題目設(shè)置較為綜合，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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