Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＞2}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{9}{4}-x）+{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$，若f（x）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• B． [-1，2]
• C． （-∞，-2]∪[1，+∞）
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)f（x）=2^x+a為增函數(shù)，則f（x）＞f（2）=4+a，
當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{9}{4}$-x）+a²為增函數(shù)，則f（x）≤f（2）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{9}{4}$-2）+a²=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$+a²=2+a²，
要使函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，
則4+a≤2+a²，即a²-a-2≥0，
則a≥2或a≤-1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性判斷分段函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．