Question

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，s=

1

2

（a+b+c）
（1）證明

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

；
（2）若s²=2ab，試證s＜2a．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)及柯西不等式知，（

1

A

+

1

B

+

1

C

）（A+B+C）≥（1+1+1）²=9，故可證；
（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊，結(jié)合已知條件，即可證明．

解答：證明：（1）由題設(shè)及柯西不等式知，（

1

A

+

1

B

+

1

C

）（A+B+C）≥（1+1+1）²=9．
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=

π

3

時(shí)取得．
∵A+B+C=π
∴

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

；
（2）∵△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c
∴a+c＞b
∴a+b+c＞2b
∵s=

1

2

（a+b+c）
∴s＞b
∴s²＞sb
∵s²=2ab，
∴2ab＞sb，
∴s＜2a

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查不等式的證明，考查柯西不等式的運(yùn)用，正確掌握柯西不等式是解題的關(guān)鍵．