Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^3}+3{x^2}，x≤1\\ x+\frac{16}{x}-15，x＞1\end{array}\right.$，則f（x）的最小值為-7．

Answer 1

分析 當x≤1時，利用導數(shù)和函數(shù)最值的關系即可求出最小值，當x＞1時，利用基本不等式即可求出最小值，比較即可得到函數(shù)的最小值．

解答 解：當x≤1時，f′（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2（舍去），
當f′（x）＞0，即0＜x≤1時，函數(shù)單調遞增，
當f′（x）＜0，即x＜0時，函數(shù)單調遞減，
所以當x=0時，f（x）_min=f（0）=0，
當x＞1時，f（x）=x+$\frac{16}{x}$-15≥2$\sqrt{16}$-15=-7，當且僅當x=4時取等號，
故函數(shù)的最小值為-7，
故答案為：-7．

點評 本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)最值的求法，基本不等式和導數(shù)是求最值的方法，屬于中檔題．