Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，6），B（3，24）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式(

a

b

)x≥2m+1在x∈（-∞，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，即可求得f（x）的解析式；
（II）求出g(x)=(

a

b

)x=(

2

3

)x在x∈（-∞，1]上的最小值，不等式(

a

b

)x≥2m+1在x∈（-∞，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為g（x）_min≥2m+1，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）由題意得

a•b=6 b•a3=24

，∴a=2，b=3，…（2分）
∴f（x）=3•2^x…（4分）
（II）設(shè)g(x)=(

a

b

)x=(

2

3

)x，則y=g（x）在R上為減函數(shù)．…（7分）
∴當(dāng)x≤1時(shí)gmin(x)=g(1)=

2

3

，…（9分）
∵(

a

b

)x≥2m+1在x∈（-∞，1]上恒成立，…（10分）
∴g（x）_min≥2m+1，…（11分）
∴2m+1≤

2

3

，∴m≤-

1

6

∴m的取值范圍為：m≤-

1

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查恒成立問題，求出函數(shù)的最值是關(guān)鍵．