Question

已知函數(shù)，（＞0，，以點(diǎn)為切點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，記函數(shù)圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積為．
（1）求；
（2）求證：＜；
（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：＜．來(lái)

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)試題分析；（3）詳見(jiàn)試題分析．

試題分析：（1）先對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，寫出切線的方程，最后利用定積分計(jì)算圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）構(gòu)造函數(shù)（≥0），求導(dǎo)可得，從而函數(shù)（≥0）單調(diào)遞減，故，從而證得當(dāng)＞0時(shí)，＜成立，故＜，∴=＜；（3）由（2）：＜，由放縮法得＜，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可證明來(lái)＜．
試題解析：（1）易知，切點(diǎn)為，則方程為
即，∴=
（2）構(gòu)造函數(shù)（≥0），則，即函數(shù)，（≥0）單調(diào)遞減，而，∴，等號(hào)在時(shí)取得，∴當(dāng)＞0時(shí)，＜成立，∴知＜，∴=＜．
（3）＜＜，∴當(dāng)時(shí)，=＜；當(dāng)時(shí)，＜＜．
方法二：
（1）（2）同方法一；
（3）由（2）知＜，


（），

，又，，∴綜上所述：對(duì)一切，都有＜．