Question

濟(jì)南市有大明湖、趵突泉、千佛山、園博園4個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人瀏覽這四個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．
（1）求ξ=0對(duì)應(yīng)的事件的概率；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由于每一位客人瀏覽這四個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，所以可以記“客人游覽大明湖景點(diǎn)”，“客人游覽趵突泉景點(diǎn)”，“客人游覽千佛山景點(diǎn)”，“客人游覽園博園景點(diǎn)”為事件A₁，A₂，A₃，A₄，且這4個(gè)事件之間相互獨(dú)立，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求得；
（2）由題意及ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值的含義，分析得到該隨機(jī)變量的分布列即可．

解答：解：（1）分別記“客人游覽大明湖景點(diǎn)”，“客人游覽趵突泉景點(diǎn)”，“客人游覽千佛山景點(diǎn)”，“客人游覽園博園景點(diǎn)”為事件A₁，A₂，A₃，A₄．
由已知A₁，A₂，A₃，A₄相互獨(dú)立，
P（A₁）=0.3，P（A₂）=0.4，P（A₃）=0.5，P（A₄）=0.6，
客人游覽景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4．相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為4，3，2，1，0，
所以ξ的可能取值為0，2，4，
故P(ξ=0)=P(

.

A1

.

A2

 A3A4)+P(

.

A1

A2

.

A3

A4)+P(

.

A1

A2A3

.

A4

 )+P(

.

A1

A2A3

.

A4

)+P(A1

.

A2

.

A3

A4)+P(A1

.

A2

 A3

.

A4

 )+P(A1A2 

.

A3

.

A4

 )=0.38；

（2）P(ξ=4)=P(A1A2A3A4)+P(

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4)=0.12

．
P（ξ=0）=0.38，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=4）=0.5
所以ξ的分布列為：

ξ	0	2	4
P	0.38	0.5	0.12

Eξ=0×0.38+2×0.5+4×0.12=1.48．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)在于準(zhǔn)確理解好題意，還考查了離散型隨機(jī)變量的定義及其分布列，利用期望定義求出離散型隨機(jī)變量的期望．