Question

10．某公司為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）的影響，對(duì)近5年的宣傳費(fèi)x_i和年利潤(rùn)y_i（i=1，2，3，4，5）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，列出了下表：

x（單位：千元）	2	4	7	17	30
y（單位：萬(wàn)元）	1	2	3	4	5

員工小王和小李分別提供了不同的方案．
（1）小王準(zhǔn)備用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)你建立y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
（2）小李決定選擇對(duì)數(shù)回歸模擬擬合y與x的關(guān)系，得到了回歸方程：$\widehat{y}$=1.450lnx+0.024，并提供了相關(guān)指數(shù)R²=0.995，請(qǐng)用相關(guān)指數(shù)說(shuō)明選擇哪個(gè)模型更合適，并預(yù)測(cè)年宣傳費(fèi)為4萬(wàn)元的年利潤(rùn)（精確到0.01）（小王也提供了他的分析數(shù)據(jù)$\sum_{i=1}^{5}$（y_i-$\widehat{y}$_i）²=1.15）
參考公式：相關(guān)指數(shù)R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x，參考數(shù)據(jù)：ln40=3.688，${\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）}^2}$=538．

Answer 1

分析 （1）$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=3，求出回歸系數(shù)，可得回歸方程；
（2）小王模型的相關(guān)指數(shù)R²=0.89，這個(gè)值比小李模型相關(guān)指數(shù)小，小李模型的擬合度更好，所以選擇小李提供的模型更合適．

解答 解：（1）$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=3，所以，$\stackrel{∧}$=$\frac{69}{538}$≈0.13，$\stackrel{∧}{a}$=1.44，
小王建立y關(guān)于x的線性回歸方程為：$\stackrel{∧}{y}$=0.13x+1.44．…（6分）
（2）據(jù)$\sum_{i=1}^{5}$（y_i-$\overline{y}$）²=10，所以小王模型的相關(guān)指數(shù)R²=0.89，這個(gè)值比小李模型相關(guān)指數(shù)小，小李模型的擬合度更好，所以選擇小李提供的模型更合適．
當(dāng)x=40 時(shí)，由小李模型得$\stackrel{∧}{y}$≈5.37，
預(yù)測(cè)年宣傳費(fèi)為4萬(wàn)元的年利潤(rùn)為5.37萬(wàn)元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的特點(diǎn)，考查相關(guān)指數(shù)，屬于中檔題．