Question

已知F是雙曲線的一個焦點，過F作一條與坐標軸不垂直，且與漸進線也不平行的直線l，交雙曲線于A，B兩點，線段AB的中垂線l′交x軸于M點．
（1）設F為右焦點，l的斜率為1，求l′的方程；
（2）試判斷是否為定值，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得F（5，0），所以l的方程為y=x-5與雙曲線方程聯(lián)立，消元可得7x²-160x+544=0
∴線段AB的中點坐標為（），
∴l(xiāng)′的方程為x+y-=0 …（5分）
（2）不失一般性，F(xiàn)取為（5，0）．
設直線AB的方程為y=k（x-5）（k≠0，k≠），A，B兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消元可得（9-16k²）x²+160k²x-400k²-144=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=-
∴|AB|==
線段AB的中點坐標為（，），
∴線段AB的中垂線方程為y+=-（x+），
∴M的坐標為（，0）
∴|FM|=|-5|=
∴=是一個常數(shù) …（13分）
分析：（1）l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，確定線段AB的中點坐標，即可求得l′的方程；
（2）不失一般性，F(xiàn)取為（5，0）．設直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理，求得|AB|，線段AB的中點坐標，可得線段AB的中垂線方程，從而可得M的坐標，進而可求是一個常數(shù)．
點評：本題考查直線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查兩點間的距離公式，屬于中檔題．