Question

已知a，b為實(shí)數(shù)，并且e＜a＜b，其中e是自然對(duì)數(shù)的底，證明a^b＞b^a．

Answer 1

分析：先對(duì)a^b＞b^a兩邊取對(duì)數(shù)整理成

lna

a

＞

lnb

b

，令y=

lnx

x

，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=

lnx

x

的單調(diào)性問(wèn)題．

解答：證：當(dāng)e＜a＜b時(shí)，要證a^b＞b^a，只要證blna＞alnb，
即只要證

lna

a

＞

lnb

b

考慮函數(shù)y=

lnx

x

(0＜x＜+∞)
因?yàn)榈玿＞e時(shí)，y′=

1-lnx

x2

＜0，
所以函數(shù)y=

lnx

x

在(e，+∞)內(nèi)是減函數(shù)
因?yàn)閑＜a＜b，所以

lna

a

＞

lnb

b

，即得a^b＞b^a

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明．函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明可與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況聯(lián)系起來(lái)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．