Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線與橢圓${C_2}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$交于第一、二象限內(nèi)的兩點(diǎn)分別為A，B，若△OAB的外接圓的圓心為$（{0，\sqrt{2}a}）$，則$\frac{a}$的值為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線分別為：y=$±\frac{a}$x，分別與橢圓方程聯(lián)立可得A，B坐標(biāo)．由△OAB的外接圓的圓心為G$（{0，\sqrt{2}a}）$，利用|OG|=|GA|即可得出．

解答 解：雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線分別為：y=$±\frac{a}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{2}}{2}b）$，同理可得B$（-\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{2}}{2}b）$．
∵△OAB的外接圓的圓心為$（{0，\sqrt{2}a}）$，
∴$\sqrt{2}$a=$\sqrt{（-\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+（\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}}{2}b）^{2}}$，
化為：$（2-\sqrt{3}）$a=b，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、三角形外接圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．