Question

設(shè)f（x）=sinπx是[0，1]上的函數(shù)，且定義f₁（x）=f（x），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n∈N^*，則滿足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的個(gè)數(shù)是

1. A.
   2n
2. B.
   2（2n-1）
3. C.
   2n²
4. D.
   2ⁿ

Answer 1

D
分析：根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出n=1滿足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的個(gè)數(shù)；n=2滿足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的個(gè)數(shù)；然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，
解答：顯然，y=f₁（x）與y=x的圖象有2=2¹個(gè)交點(diǎn)．
接下來(lái)考慮f₂（x），在x屬于[0，]時(shí)，f₁（x）從0單調(diào)上升到1，于是f₂（x）從0上升到1再下降到0；
當(dāng)x屬于[，1]時(shí)，又是這樣一個(gè)周期．你近似畫(huà)出它的圖象（只要增減性畫(huà)對(duì)）就知道它會(huì)上升到1，下降到0，再上升到1，再下降到0，這樣和y=x有4=2²個(gè)交點(diǎn)．
接下來(lái)，你再看f₃（x），就會(huì)發(fā)現(xiàn)周期又縮短了一半．它有4次上升下降，與直線y=x有8=2³個(gè)交點(diǎn)．
歸納可以得出結(jié)論：f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的個(gè)數(shù)是：2ⁿ．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），屬于中檔題