Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}}\right.$，（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=-\sqrt{2}$，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為$A（2，\frac{π}{2}），B（2，π）$．
（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的參數(shù)方程消去t得到圓C的普通方程，由直線l的極坐標(biāo)方程，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；
（2）將A與B的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并求出|AB|的長(zhǎng)，根據(jù)P在圓C上，設(shè)出P坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離，利用余弦函數(shù)的值域確定出最小值，即可確定出三角形PAB面積的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)得：$\left\{\begin{array}{l}{x+5=\sqrt{2}cost}\\{y-3=\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$，
消去參數(shù)t，得（x+5）²+（y-3）²=2，
∴圓C的普通方程為（x+5）²+（y-3）²=2．
由ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，化簡(jiǎn)得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=-$\sqrt{2}$，
即ρcosθ-ρsinθ=-2，即x-y+2=0，
則直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0；
（Ⅱ）將A（2，$\frac{π}{2}$），B（2，π）化為直角坐標(biāo)為A（0，2），B（-2，0），
∴|AB|=$\sqrt{（0+2）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5+$\sqrt{2}$cost，3+$\sqrt{2}$sint），
∴P點(diǎn)到直線l的距離為d=$\frac{|-5+\sqrt{2}cost-3-\sqrt{2}sint+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{|{-6+2cos（{t+\frac{π}{4}}）}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴d_min=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則△PAB面積的最小值是S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的參數(shù)方程，以及簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，熟練掌握參數(shù)方程與普通方程間的轉(zhuǎn)換是解本題的關(guān)鍵．