Question

13．下列命題中，正確的序號(hào)是（2）．
（1）存在x₀＞0，使得x₀＜sinx₀．
（2）若sinα≠$\frac{1}{2}$，則α≠$\frac{π}{6}$．
（3）“l(fā)na＞lnb”是“10^a＞10^b”的充要條件．
（4）若函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1有極值0，則a=2，b=9或a=1，b=3．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系進(jìn)行判斷．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的公式進(jìn)行判斷．
（3）根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．
（4）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=-1處有極值0，建立方程組，求得a，b的值，再驗(yàn)證，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0，則當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，
則存在x₀＞0，使得x₀＜sinx₀．錯(cuò)誤，故（1）錯(cuò)誤，
（2）若sinα≠$\frac{1}{2}$，則α≠2kπ+$\frac{π}{6}$且α≠2kπ+$\frac{5π}{6}$，則α≠$\frac{π}{6}$成立，故（2）正確．
（3）由“l(fā)na＞lnb”得a＞b＞0，由“10^a＞10^b”得a＞b，則）“l(fā)na＞lnb”是“10^a＞10^b”的充分不必要條件，故（3）錯(cuò)誤，
（4）∵函數(shù)f（x）=x³+3ax²+bx+a²
∴f′（x）=3x²+6ax+b，
又∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=-1處有極值0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$時(shí)，f′（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）²=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不滿足題意；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$時(shí)，f′（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，滿足題意；
故a=2，b=9，故（4）錯(cuò)誤，
故答案為：（2）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及特稱命題，充分條件和必要條件的判斷，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．