Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）；
（1）若a=3，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值
（2）若函數(shù)f（x）≤2x²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．減區(qū)間與增區(qū)間的分界點(diǎn)為極值點(diǎn)，且當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)，為極大值，當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正時(shí)，為極小值．
（2）函數(shù)f（x）≤2x²恒成立，即lnx-x²-ax≤0（x＞0）恒成立．分離變量，得，a≥

lnx

x

-x恒成立，則只需a大于等于

lnx

x

-x的最大值即可．用導(dǎo)數(shù)求出

lnx

x

-x的最大值即可．

解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

，
當(dāng)0＜x＜

1

2

或x＞1時(shí)，f′(x)＞0，
當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，f^′（x）＜0
∴f(x)在(0，

1

2

)和(1，+∞)上是增函數(shù)，在(

1

2

，1)上是減函數(shù)，
∴f(x)極大值=f(

1

2

)=-

5

4

-ln2，f(x)極小值=f（1）=-2
f′（x）=

1

x

+x²-a=

2x2-ax+1

x

（x＞0），
（2）由條件可得lnx-x²-ax≤0（x＞0），
則當(dāng)x＞0時(shí)，a≥

lnx

x

-x恒成立，
令h（x）=

lnx

x

-x（x＞0），則h′（x）=

1-x2-lnx

x

，
令k（x）=1-x²-lnx（x＞0），
則當(dāng)x＞0時(shí)，k′（x）=-2x-

1

x

＜0，所以k（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
又k′（1）=0，
所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；在（1，+∞）上為減函數(shù)．
所以h（x）_max=h（1）=-1，所以a≥-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，以及恒成立問(wèn)題的判斷．