已知數(shù)列{xn},{yn}滿足x1=y1=1,x2=y2=2,并且xn+1-(λ+1)xn+λxn-1=0,yn+1-(λ+1)yn+λyn-1≥0(λ為非零參數(shù),n=2,3,4,…).
(1)若x1,x3,x5成等比數(shù)列,求參數(shù)λ的值;
(2)當(dāng)λ>0時,證明xn+1-yn+1≤xn-yn(n∈N*);
(3)設(shè)0<λ<1,k∈N*,證明:(x2-x1)+(x4-x2)+(x6-x3)+…+(x2k-xk)<
1(1-λ)2
(k∈N*)
分析:(1)利用x1=1,x2=2,xn+1-(λ+1)xn+λxn-1=0,即可得到x3,x4,x5,再利用等比數(shù)列的定義即可得出λ的值;
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;
(3)由xn+1-(λ+1)xn+λxn-1=0,可得xn+1-xn=λ(xn-xn-1),即xn-xn-1=(x2-x1)•λn-2=λn-2,利用“累加求和”可得xn,再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出不等式的左邊,進(jìn)而證明小于右邊.
解答:解:(1)∵x1=1,x2=2,xn+1-(λ+1)xn+λxn-1=0,
∴x3=(λ+1)x2-λx1=2(λ+1)-λ=λ+2.
x4=(λ+1)(λ+2)-2λ=λ2+λ+2.
x5=(λ+1)(λ2+λ+2)-λ(λ+2)32+λ+2.
∵x1,x3,x5成等比數(shù)列,∴
x
2
3
=x1x5

∴(λ+2)2=1×(λ2+λ+2),解得λ=-2.
(2)下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時,x2-x1=2-1=y2-y1,∴x2-y2≤x1-y1成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k時,xk+1-xk≤yk+1-yk成立,即xk+1-yk+1≤xk-yk成立.
則當(dāng)n=k+1時,∵λ>0,∴xk+2-xk+1=λ(xk+1-xk)≤λ(yk+1-yk)≤yk+2-yk+1成立,
即xk+2-yk+2≤xk+1-yk+1成立.
即命題定義n=k+1時也成立.
綜上可知:命題定義任意n∈N*都成立.
(3)由xn+1-(λ+1)xn+λxn-1=0,可得xn+1-xn=λ(xn-xn-1),
xn-xn-1=(x2-x1)•λn-2=λn-2,
∴xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x3-x2)+(x2-x1)+x1
n-2n-3+…+λ+1+1=
λn-1-1
λ-1
+1.(0<λ<1).
x2k=
λ2k-1-1
λ-1
+1

∴x2k-xk=
λ2k-1-λk
λ-1

∴左邊=(x2-x1)+(x4-x2)+(x6-x3)+…+(x2k-xk
=
1
λ-1
[(λ+λ3+…+λ2k-1)-(λ+λ2+…+λk)]
=
1
λ-1
[
λ(λ2k-1)
λ2-1
-
λk-1
λ-1
]

=
1
1-λ
(1-λk)(1-λk+1)
1-λ2

=
1
(1-λ)2
(1-λk)(1-λk+1)
1+λ
1
(1-λ)2
.=右邊.
故不等式成立.
點評:熟練掌握等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式、數(shù)學(xué)歸納法、“累加求和”等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{xn}滿足x2=
x1
2
,xn=
1
2
(xn-1+xn-2),n=3,4,….若
lim
n→∞
xn
=2,則x1=( 。
A、
3
2
B、3
C、4
D、5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{xn}滿足x2=
1
2
x1,xn=
1
2
(xn-1+xn-2)(n=3,4,5,…),若
lim
n→∞
xn=2
,則x1=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

高斯函數(shù)[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[-2]=-2,[
2
]=1,已知數(shù)列{xn}中,x1=1,xn=xn-1+1+3{[
n-1
5
]-[
n-2
5
]}(n≥2),則x2013=
3219
3219

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•嘉定區(qū)一模)在數(shù)列{an}中,若存在一個確定的正整數(shù)T,對任意n∈N*滿足an+T=an,則稱{an}是周期數(shù)列,T叫做它的周期.已知數(shù)列{xn}滿足x1=1,x2=a(a≤1),xn+2=|xn+1-xn|,當(dāng)數(shù)列{xn}的周期為3時,則{xn}的前2013項的和S2013=
1342
1342

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•廣州一模)已知數(shù)列{xn}滿足下列條件:x1=a,x2=b,xn+1-(λ+1)xn+λxn-1=0(n∈N*且n≥2),其中a、b為常數(shù),且a<b,λ為非零常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)λ>0時,證明:xn+1>xn(n∈N*);
(Ⅱ)當(dāng)|λ|<1時,求
limn→∞
xn

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