若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的、單調(diào)的函數(shù),且滿(mǎn)足f(a)•f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有唯一的零點(diǎn)”.對(duì)于函數(shù)f(x)=-x3+x2+x+m,
(1)當(dāng)m=0時(shí),討論函數(shù)f(x)=-x3+x2+x+m在定義域內(nèi)的單調(diào)性并求出極值;
(2)若函數(shù)f(x)=-x3+x2+x+m有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)直接求函數(shù)f(x)=-x3+x2+x的導(dǎo)函數(shù),判斷單調(diào)性求函數(shù)極值即可;
(2)三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),也就是函數(shù)圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),函數(shù)的極小值小于0,極大值大于0,即求函數(shù)的極值即可解決.
解答:解:(1)當(dāng)m=0時(shí),f(x)=-x
3+x
2+x.
∴f′(x)=-3x
2+2x+1=
-3(x+)(x-1).
列表如下:
由表可知:函數(shù)f(x)=-x
3+x
2+x在區(qū)間[-
,1]上單調(diào)遞增,在
(-∞,-)和(1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴f(x)的極小值為
f(-)=-
,
極大值為?(1)=1.
(2)由(1)知,當(dāng)x=-
時(shí),
f(x)取得極小值
f(-)= +-+m=m-,
當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極大值
f(1)=-1+1+1+m=m+1,
當(dāng)
,即-1<m<
時(shí),
f(-1)=1+1-1+m=m+1>0,
f(-)=m-
<0,
f(1)=m+1>0,f(2)=m-2<0,
∴f(x)=-x
3+x
2+m在
[-1,-]上有唯一零點(diǎn).
在
(-,1]上有唯一零點(diǎn),在(1,2]上有唯一零點(diǎn).又f(x)=-x
3+x
2+x+m在(-∞,-1]上單調(diào)遞減,
在[2,+∞]上單調(diào)遞減,∴在(-∞,-1]上恒有?f(x)≥f(-1)>0,在[2,+∞)上恒有f(x)≤f(2)<0.
∴f(x)=-x
3+x
2+x+m-在(-∞,-1]和[2,+∞)上無(wú)零點(diǎn).∴-1<m<
時(shí),函數(shù)f(x)=-x
3+x
2+x+m在有三個(gè)零點(diǎn),
∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(-1,).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的概念,以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,屬于中檔題.