Question

14．已知△ABC，點(diǎn)E是三角形內(nèi)一點(diǎn)，BE延長(zhǎng)后交AC于點(diǎn)D，設(shè)∠DBC=30°，∠DCE=10°，∠ECB=20°，∠DBA=40°．
（1）若AB=$\frac{2}{sin40°}$，求AD的長(zhǎng)；
（2）求證：∠BAE=60°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象和已知的角求出∠ADB，在△ABD中由正弦定理求出AD的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)題意在∠BAC的平分線上截取AO=AC，連接OA、OB、OC、OE，OA交BC于點(diǎn)F，根據(jù)圖形和已知角的度數(shù)、三角形全等定理證明△ABO≌△AFC，由角的關(guān)系和外接圓的性質(zhì)證明△OCE為正三角形，可得EO=EC，由三角形全等定理證明△AEO≌△AEC，得到∠OAE=20°，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠DCE=10°，∠ECB=20°，∴∠DCB=30°，
∵∠DBC=30°，∴∠ADB=∠DBC+∠BCD=60°，
在△ABD中，∠DBA=40°，AB=$\frac{2}{sin40°}$，
由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠ABD}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
AD=$\frac{AB•sin∠ABD}{sin∠ADB}$=$\frac{\frac{2}{sin40°}•sin40°}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
證明：（2）在∠BAC的平分線上截取AO=AC
連接OA、OB、OC、OE，OA交BC于點(diǎn)F．
①證△ABO≌△AFC（SAS），BO=CO
∵∠BAF=40°，∠ABF=70°，
∴∠AFB=70°，則AB=AF；
∵∠BAO=40°=∠FAC；AO=AC；
∴△ABO≌△AFC（SAS），∴BO=FC．∵AO=AC，∠OAC=40°，∴∠AOC=∠ACO=70°，
又∵∠CFO=∠ABF=70°，
∴∠AOC=∠CFO，F(xiàn)C=OC，∴BO=CO；
②證△COE為正三角形，EO=EC，
∵∠OCB=∠ACO-∠ACB=70°-30°=40°，∠OBC=40°，∴∠BOC=100°．
∵∠BEC=180°-30°-20°=130°．∴∠BEC+$\frac{1}{2}$∠BOC=180°，BO=CO，
∴O在BC的中垂線上，O為△EBC外接圓的圓心，∠BOC為圓心角．
∴OE=OC，
∵∠OCE=∠OCB+∠ECB=40°+20°=60°，∴
△OCE為正三角形，EO=EC；
③證△AEO≌△AEC，∠OAE=20°∵
AO=AC，AE=AE，EO=EC，∴△AEO≌△AEC（SSS）．
∴∠OAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∴∠BAE=∠BAO+∠OAE=40°+20°=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，三角形中角之間的關(guān)系，以及三角形全等定理的應(yīng)用，作出輔助線是解題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，推理論證能力．