Question

古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，則第24個(gè)三角形數(shù)與第22個(gè)三角形數(shù)的差為

47

．

Answer 1

分析：根據(jù)題目所給三角形數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合數(shù)列的實(shí)質(zhì)是函數(shù)，我們可以猜測(cè)三角形數(shù)的項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)之間是不是滿足已學(xué)過的初等函數(shù)，明顯不是一次函數(shù)，可猜測(cè)二次函數(shù)，把前三項(xiàng)代入后求出二次函數(shù)的對(duì)應(yīng)系數(shù)，然后再代入幾項(xiàng)驗(yàn)證，如獲通過可用來求第22項(xiàng)和第24項(xiàng)．

解答：解：引入自變量n和因變量s，列表得

n	1	2	3	4	5	…
s	1	3	6	10	15	…

在猜想一次關(guān)系未獲通過的情況下，調(diào)整為二次函數(shù)關(guān)系s=an²+bn+c，把（1，1），（2，3），（3，6）分別代入解之，得關(guān)系式為s=

1

2

n2+

1

2

n，或化為s=

n(n+1)

2

．以（4，10），（5，15）驗(yàn)證均獲通過．因此可求得第24個(gè)與第22個(gè)三角形數(shù)分別為300，253，故這兩個(gè)三角形數(shù)的差為47．
故答案為47．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)中的歸納猜想，根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，猜想數(shù)列通項(xiàng)的函數(shù)性質(zhì)，然后用部分已知條件代入猜想的結(jié)論，說明猜想的正確性，最后運(yùn)用歸納猜想求得要求的結(jié)果．